Wie man Gleichungssysteme löst

Es ist nicht schwierig, das Gleichungssystem mit den grundlegenden Methoden zum Lösen linearer Gleichungssysteme zu lösen: der Substitutionsmethode und der Additionsmethode.

Bedienungsanleitung

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Betrachten wir Methoden zum Lösen eines Gleichungssystems am Beispiel eines Systems zweier linearer Gleichungen mit zwei unbekannten Werten. Im Allgemeinen wird ein solches System wie folgt geschrieben (links werden die Gleichungen mit einer geschweiften Klammer kombiniert):

ax + b = c

dx + ey = f, wo

a, b, c, d, e, f sind die Koeffizienten (spezifische Zahlen), und x und y sind wie üblich unbekannt. Die Zahlen a, b, c, d werden als Koeffizienten für Unbekannte bezeichnet, und c und f werden als freie Terme bezeichnet. Die Lösung für ein solches Gleichungssystem wird durch zwei Hauptmethoden gefunden.

Die Lösung des Gleichungssystems durch die Substitutionsmethode.

1. Wir nehmen die erste Gleichung und drücken eines der Unbekannten (x) in Form der Koeffizienten und das andere Unbekannte (y) aus:

x = (s-by) / a

2. Setzen Sie den für x erhaltenen Ausdruck in die zweite Gleichung ein:

d (c-by) / a + ey = f

3. Wenn wir die resultierende Gleichung lösen, finden wir den Ausdruck für y:

y = (af-cd) / (ae-bd)

4. Ersetzen Sie den resultierenden Ausdruck für y durch den Ausdruck für x:

x = (ce-bf) / (ae-bd)

Beispiel: Sie müssen ein Gleichungssystem lösen:

3x-2y = 4

x + 3y = 5

Finden Sie den Wert von x aus der ersten Gleichung:

x = (2y + 4) / 3

Setzen Sie den resultierenden Ausdruck in die zweite Gleichung ein und erhalten Sie eine Gleichung mit einer Variablen (y):

(2y + 4) / 3 + 3y = 5, woher wir bekommen:

y = 1

Jetzt ersetzen wir die Variable x durch den gefundenen Wert von y im Ausdruck:

x = (2 · 1 + 4) / 3 = 2

Antwort: x = 2, y = 1.

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Die Lösung des Gleichungssystems durch die Methode der Addition (Subtraktion).

Diese Methode reduziert sich darauf, beide Seiten der Gleichungen mit Zahlen (Parametern) zu multiplizieren, so dass infolgedessen die Koeffizienten einer der Variablen zusammenfallen (möglicherweise mit dem entgegengesetzten Vorzeichen).

Im allgemeinen Fall müssen beide Seiten der ersten Gleichung mit (-d) und beide Seiten der zweiten Gleichung mit a multipliziert werden. Als Ergebnis erhalten wir:

-adx-bdу = -cd

adx + aey = af

Addiert man die resultierenden Gleichungen, erhält man:

-bdu + aeu = -cd + af, woher bekommen wir den Ausdruck für die Variable y:

y = (af-cd) / (ae-bd), Wenn wir den Ausdruck für y in einer beliebigen Gleichung des Systems einsetzen, erhalten wir:

ax + b (af-cd) / (ae-bd) = c?

Aus dieser Gleichung ergibt sich das zweite Unbekannte:

x = (ce-bf) / (ae-bd)

Ein Beispiel. Lösen Sie das Gleichungssystem durch Addieren oder Subtrahieren von:

3x-2y = 4

x + 3y = 5

Multiplizieren Sie die erste Gleichung mit (-1) und die zweite mit 3:

-3x + 2y = -4

3x + 9y = 15

Wenn wir beide Gleichungen (Term für Term) addieren, erhalten wir:

11y = 11

Woher bekommen wir:

y = 1

Wir setzen den erhaltenen Wert für y in eine der Gleichungen ein, zum Beispiel in die zweite, die wir erhalten:

3x + 9 = 15, woher

x = 2

Antwort: x = 2, y = 1.