So berechnen Sie die Fläche eines Parallelogramms, das auf Vektoren basiert

Auf zwei beliebigen nichtkollinearen und Nicht-Null-Vektoren kann ein Parallelogramm erstellt werden. Diese beiden Vektoren ziehen ein Parallelogramm zusammen, wenn Sie ihren Ursprung an einem Punkt kombinieren. Beenden Sie die Seiten der Figur.

Bedienungsanleitung

1

Finden Sie die Längen der Vektoren, wenn ihre Koordinaten angegeben sind. Der Vektor A habe beispielsweise Koordinaten (a1, a2) in der Ebene. Dann ist die Länge des Vektors A | A | = √ (a1² + a2²). In ähnlicher Weise finden wir das Modul des Vektors B: | B | = √ (b1² + b2²), wobei b1 und b2 die Koordinaten des Vektors B in der Ebene sind.

2

Die Parallelogrammfläche wird durch die Formel S = | A | • | B | • sin (A ^ B) gefunden, wobei A ^ B der Winkel zwischen den gegebenen Vektoren A und B ist. Der Sinus kann durch den Cosinus unter Verwendung der trigonometrischen Grundidentität gefunden werden: sin²α + cos²α = 1. Der Kosinus kann als Skalarprodukt von in Koordinaten geschriebenen Vektoren ausgedrückt werden.

3

Das Skalarprodukt eines Vektors A durch einen Vektor B wird mit (A, B) bezeichnet. Per Definition ist es gleich (A, B) = | A | • | B | • cos (A ^ B). Und in Koordinaten wird das Skalarprodukt wie folgt geschrieben: (A, B) = a1 • b1 + a2 • b2. Von hier aus können wir den Kosinus des Winkels zwischen den Vektoren ausdrücken: cos (A ^ B) = (A, B) / | A | • | B | = (a1 • b1 + a2 • b2) / √ (a1² + a2²) • √ (a2² + b2²). Im Zähler das Skalarprodukt, im Nenner die Längen der Vektoren.

4

Jetzt können wir den Sinus aus der trigonometrischen Hauptidentität ausdrücken: sin²α = 1-cos²α, sinα = ± √ (1-cos²α). Wenn wir annehmen, dass der Winkel α zwischen den Vektoren spitz ist, kann das Minus mit dem Sinus verworfen werden, wobei nur das Pluszeichen übrig bleibt, da der Sinus des spitzen Winkels nur positiv sein kann (oder Null bei einem Winkel von Null, aber hier ist der Winkel ungleich Null, dies wird in der Bedingung angezeigt Nichtkollinearität von Vektoren).

5

Jetzt müssen wir den Koordinatenausdruck für den Kosinus in der Sinusformel ersetzen. Danach bleibt nur noch das Ergebnis in die Parallelogrammbereichsformel zu schreiben. Wenn dies alles getan ist und der numerische Ausdruck vereinfacht wird, stellt sich heraus, dass S = a1 • b2-a2 • b1. Somit wird die Fläche des Parallelogramms, das auf den Vektoren A (a1, a2) und B (b1, b2) aufgebaut ist, durch die Formel S = a1 · b2 - a2 · b1 gefunden.

6

Der resultierende Ausdruck ist die Determinante der Matrix, die sich aus den Koordinaten der Vektoren A und B zusammensetzt: a1 a2b1 b2.

7

Um eine Determinante einer Matrix der Dimension zwei zu erhalten, ist es tatsächlich notwendig, die Elemente der Hauptdiagonale (a1, b2) zu multiplizieren und davon das Produkt der Elemente der Seitendiagonale (a2, b1) zu subtrahieren.