Wie man Gleichungen mit Wurzeln löst

Manchmal gibt es in den Gleichungen ein Zeichen der Wurzel. Vielen Studenten scheint es sehr schwierig zu sein, solche Gleichungen „mit Wurzeln“ oder, genauer gesagt, irrationalen Gleichungen zu lösen, aber das ist nicht so.

Bedienungsanleitung

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Im Gegensatz zu anderen Arten von Gleichungen, beispielsweise quadratischen oder linearen Gleichungssystemen, gibt es keinen Standardalgorithmus zum Lösen von Gleichungen mit Wurzeln oder genauer gesagt irrationalen Gleichungen. In jedem speziellen Fall ist es notwendig, die am besten geeignete Lösungsmethode basierend auf dem "Aussehen" und den Merkmalen der Gleichung auszuwählen.

Das Anheben von Teilen der Gleichung in gleichem Maße.

Um Gleichungen mit Wurzeln (irrationale Gleichungen) zu lösen, wird meistens das Anheben beider Seiten der Gleichung in gleichem Maße verwendet. In der Regel bis zu einem Grad, der dem Grad der Wurzel entspricht (Quadrat für Quadratwurzel, Würfel für Kubikwurzel). Es sollte bedacht werden, dass er, wenn er die linke und rechte Seite der Gleichung gleichmäßig anhebt, möglicherweise „zusätzliche“ Wurzeln hat. Daher sollte man in diesem Fall die erhaltenen Wurzeln überprüfen, indem man sie in die Gleichung einsetzt. Besondere Aufmerksamkeit beim Lösen von Gleichungen mit quadratischen (geraden) Wurzeln sollte dem Bereich der zulässigen Werte der Variablen (ODZ) gewidmet werden. Manchmal reicht die Schätzung der ODL allein aus, um die Gleichung zu lösen oder signifikant zu vereinfachen.

Ein Beispiel. Löse die Gleichung:

√ (5x-16) = x-2

Wir quadrieren beide Seiten der Gleichung:

(√ (5x-16)) ² = (x-2) ², woher wir nacheinander erhalten:

5x-16 = x²-4x + 4

h²-4x + 4-5x + 16 = 0

h²-9x + 20 = 0

Wenn wir die erhaltene quadratische Gleichung lösen, finden wir ihre Wurzeln:

x = (9 ± √ (81-4 ​​* 1 * 20)) / (2 * 1)

x = (9 ± 1) / 2

x1 = 4, x2 = 5

Wenn wir beide gefundenen Wurzeln in die ursprüngliche Gleichung einsetzen, erhalten wir die richtige Gleichheit. Daher sind beide Zahlen Lösungen der Gleichung.

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Methode zur Einführung einer neuen Variablen.

Manchmal ist es bequemer, die Wurzeln der "Gleichung mit Wurzeln" (irrationale Gleichungen) durch Einführung neuer Variablen zu finden. Tatsächlich wird die Essenz dieses Verfahrens einfach auf eine kompaktere Aufzeichnung der Lösung reduziert, d.h. Anstatt jedes Mal einen sperrigen Ausdruck zu schreiben, wird er durch eine Legende ersetzt.

Ein Beispiel. Löse die Gleichung: 2x + √x-3 = 0

Sie können diese Gleichung lösen, indem Sie beide Seiten quadrieren. Die Berechnungen selbst werden jedoch ziemlich umständlich aussehen. Bei der Einführung einer neuen Variablen wird der Entscheidungsprozess viel eleganter:

Wir führen eine neue Variable ein: y = √ x

Dann erhalten wir die gewöhnliche quadratische Gleichung:

2y² + y-3 = 0 mit der Variablen y.

Wenn wir die resultierende Gleichung lösen, finden wir zwei Wurzeln:

y1 = 1 und y2 = -3 / 2, Wenn wir die gefundenen Wurzeln im Ausdruck durch die neue Variable (y) ersetzen, erhalten wir:

√ x = 1 und √ x = -3 / 2.

Da der Quadratwurzelwert keine negative Zahl sein kann (wenn Sie den Bereich komplexer Zahlen nicht berühren), erhalten wir die einzige Lösung:

x = 1.

Quadratwurzellösung