So finden Sie die Fläche eines Kreissegments

Eines der häufigsten geometrischen Probleme besteht darin, die Fläche eines Kreissegments zu berechnen - den Teil eines Kreises, der von einem Akkord begrenzt wird, und den entsprechenden Akkord eines Kreisbogens.

Die Fläche des Kreissegments ist gleich der Differenz zwischen der Fläche des entsprechenden Kreissektors und der Fläche des Dreiecks, die durch die Radien des entsprechenden Segments des Sektors und der das Segment begrenzenden Sehne gebildet wird.

Beispiel 1

Die Länge des Akkords, der einen Kreis zusammenzieht, entspricht dem Wert von a. Das Gradmaß des dem Akkord entsprechenden Bogens beträgt 60 °. Finden Sie den Bereich des Kreissegments.

Lösung

Ein Dreieck, das aus zwei Radien und einem Akkord besteht, ist gleichschenklig. Die Höhe, die von der Oberseite des Mittelwinkels zur Seite des durch den Akkord gebildeten Dreiecks gezogen wird, ist auch die Halbierende des Mittelwinkels, die ihn und den Median halbiert und den Akkord halbiert. Da wir wissen, dass der Sinus des Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck gleich dem Verhältnis der gegenüberliegenden Seite zur Hypotenuse ist, können wir den Radius berechnen:

Sin 30 ° = a / 2: R = 1/2;

R = a.

Die Fläche des Sektors, die einem bestimmten Winkel entspricht, kann nach folgender Formel berechnet werden:

Sc = πR² / 360 ° * 60 ° = πa² / 6

Die dem Sektor entsprechende Fläche des Dreiecks wird wie folgt berechnet:

S ▲ = 1/2 * ah, wobei h die Höhe ist, die von der Oberseite des Mittelwinkels zum Akkord gezogen wird. Nach dem Satz von Pythagoras ist h = √ (R²-a² / 4) = √3 * a / 2.

Dementsprechend ist S ▲ = √3 / 4 * a².

Die Fläche des Segments, berechnet als Sseg = Sc - S ▲, ist gleich:

Sseg = πa² / 6 - √3 / 4 * a²

Durch Ersetzen eines numerischen Werts anstelle von a können Sie den numerischen Wert des Segmentbereichs einfach berechnen.

Beispiel 2

Der Radius des Kreises ist gleich a. Das Gradmaß des dem Segment entsprechenden Bogens beträgt 60 °. Finden Sie den Bereich des Kreissegments.